Чтобы все корни ХУ:

a₀ s ⁿ + a₁ s ⁿ-1 + ... + a_n-1 s + a_n = 0 ,

имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полном D(s) полное приращение его фазы при изменении w от 0 до ¥ составляло np/2, где: n - степень полинома D(s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую - "годограф Михайлова".

Док-во: Представим D(s) в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку s=jw:

D(jw) = a₀ (jw - s₁) (jw - s₂) ... (jw - s_n) ,

где: s₁, s₂, ..., s_n - корни ХУ. Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них. Возможны четыре основных варианта:

1.  Пусть s_i=a, - вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (jw - a) при изменении wот 0 до ¥ повернется на угол -p/2.

2.  Пусть s_i=-a, - вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (jw + a) при измененииw от 0 до ¥ повернется на угол p/2.

3.  Пусть s_i;i+1=a±jb, - сопряженные корни с положительной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (jw - a - jb)(jw - a + jb) при изменении w от 0 до ¥ повернутся на углы -p/2+g, и-p/2-g. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный -p.

4.  Пусть s_i;i+1=-a±jb, - сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (jw + a - jb)(jw + a + jb) при изменении w от 0 до ¥ повернутся на углы p/2-g, иp/2+g. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный p.

Резюме: Если ХУ имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота годографа D(jw) при изменении w от 0 до¥ составит:

y = - l p/2 + (n - l) p/2 = n p/2 - l p ,

где: n - порядок ХУ.